Mandelbrot function and map
Convention:
function: y=F(x)
map: x= F(x) it is Recurrence relation
so map creates orbit = discrete dynamical system.
compare:
Real Mandelbrot function
Complex Mandelbrot Function:
Fc(z) = z*z + c
it is a monic complex quadratic polynomial ( binomial )
compare it with real quadratic polynomial
definition of Mandelbrot function :
Fc(Z)= (Z*Z) + c
where :
Z = complex variable
Z= Z.X + Z.Y * i
c = complex parameter
c:=c.x + c.y * i
so using rules for addition and multiplication of complex numbers:
Re(Fc(Z))=Z.X2- Z.Y2 +c.x
Im(Fc(Z))=2 * Z.X * Z.Y + c.y
Complex Mandelbrot map it is a
Z(n+1) := F ( Z (n) ) := Z(n) *Z(n) + c
FM(Z0,c,n) = Fc(n)(Z0)
Two forms of Mandelbrot map:
definition of map using iteration
in pseudocode:
FM(0,c,n):=
begin
Zi= 0
For i=1 to n do
Zi+1=Fc(Zi):=(Zi*Zi) + c
return Zi
end;
definition of map using recursion
in pseudocode:
FM(0,c,n):=
begin
if n:=0
then return = 0
else return = (FM(0,c,n-1))2+ c
end;
-------------------------------
First form:
It goes like that :
Z0= 0
Z1= Z02+ c = c
Z2= Z12+ c = c2+ c
Z3= Z22+ c = c4 + 2 c3 + c2 + c
...
ZN+1= ZN2+c
and so on ...
Second form:
-------------------------------
It goes like that :
F(1)= c
F(2)=(F(1))2 + c = c2+ c
F(3) = (F(2))2 + c =c4 + 2 c3 + c2 + c
...
F(N+1)=( F(N))2 + c
and so on ...
The second form uses Z1=C for initial conditions instead of Z0 = 0 ( one iterations for every point less).
It can not be done in (binary ) decomposition and potential ( CPM)
in Maxima:
F[n, c, z] :=
if n=0
then z
else (F[n-1, c, z]^2 + c);
example diplay or orbit of Z0=0 for give c value :
c:-0.1011 +0.9563*%i;
for m:1 thru 20 step 1 do display(z:rectform(F[m,c,0]));
// put Zn in the table
for m:1 thru 20 step 1 do Zm[m]:rectform(F[m,c,0]);
(%i17) reZm:makelist(realpart(Zm[i]),i,1,20);
(%o17)[-0.1011,-1.00538848,0.32763444199861,-0.32760205525899,-0.327501821067,-0.32769030777401,-0.32762018526683,-0.32737949455485,-0.32781860151825,-0.32766791681436,-0.32709060373304,-0.32811288439011,-0.32779204298486,-0.32640884639741,-0.32878694725781,-0.32811174808086,-0.32480136378766,-0.33032771825534,-0.328929430019,-0.3210157009846]
(%i18) imZm:makelist(imagpart(Zm[i]),i,1,20);
(%o18) [0.9563,0.76293614,-0.57779441226333,0.57768930029637,0.57779559584356,0.57784178031349,0.57759369832878,0.57783729108914,0.57795583941659,0.57737064996629,0.57792832379159,0.57823015131317,0.57685047442261,0.57812600898446,0.57888911267009,0.57563763168884,0.5785530608109,0.58047035365019,0.57280910512772,0.57947245508129]
(%i19) plot2d([discrete,reZm,imZm],[gnuplot_curve_styles, ["with points"]])$
//
(%i1) z:0;
(%o1) 0
(%i2) f(z):=z^2+c;
(%o2) f(z):=z^2+c
(%i3) for m:1 thru 20 step 1 do display(z:f(z));
z=c
z=c^2+c
z=(c^2+c)^2+c
z=((c^2+c)^2+c)^2+c
z=(((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=((((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=(((((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=((((((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=(((((((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=((((((((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=(((((((((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=((((((((((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=(((((((((((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=((((((((((((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=(((((((((((((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=((((((((((((((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=(((((((((((((((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=((((((((((((((((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=(((((((((((((((((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^(2)+c
z=((((((((((((((((((c^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^(2)+c)^(2)+c
P(n):=if n=0 then z else P(n-1)^2+c;
(%o1) P(n):=if n=0 then z else P(n-1)^2+c
(%i2) for m:0 thru 10 step 1 do display(z:P(m));
z=z
z=z^2+c
z=((z^2+c)^2+c)^2+c
z=(((((z^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=(((((((((z^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
z=((((((((((((((z^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c)^2+c
....
P(n):=if n=0 then 0 else P(n-1)^2+c;
(%i9) for m:0 thru 6 step 1 do display(z:ratsimp(P(m)));
z=0
z=c
z=c^2+c
z=c^4+2*c^3+c^2+c
z=c^8+4*c^7+6*c^6+6*c^5+5*c^4+2*c^3+c^2+c
z=c^16+8*c^15+28*c^14+60*c^13+94*c^12+116*c^11+114*c^10+94*c^9+69*c^8+44*c^7+26*c^6+14*c^5+5*c^4+2*c^3+c^2
+c
-------display(z:ratsimp(P(6)));------------
z=c^32+16*c^31+120*c^30+568*c^29+1932*c^28+5096*c^27+10948*c^26+19788*c^25+30782*c^24+41944*c^23+50788*
c^22+55308*c^21+54746*c^20+49700*c^19+41658*c^18+32398*c^17+23461*c^16+15864*c^15+10068*c^14+6036*c^13+
3434*c^12+1860*c^11+958*c^10+470*c^9+221*c^8+100*c^7+42*c^6+14*c^5+5*c^4+2*c^3+c^2+c
-------display(z:ratsimp(P(7)));------------
z=c^64+32*c^63+496*c^62+4976*c^61+36440*c^60+208336*c^59+971272*c^58+3807704*c^57+12843980*c^56+37945904*c^55+99582920*c^54+
234813592*c^53+502196500*c^52+981900168*c^51+1766948340*c^50+2943492972*c^49+4562339774*c^48+6609143792*c^47+8984070856*c^46+
11500901864*c^45+13910043524*c^44+15941684776*c^43+17357937708*c^42+17999433372*c^41+17813777994*c^40+16859410792*c^39+
15286065700*c^38+13299362332*c^37+11120136162*c^36+8948546308*c^35+6939692682*c^34+5193067630*c^33+3754272037*c^32+
2625062128*c^31+1777171560*c^30+1166067016*c^29+742179284*c^28+458591432*c^27+275276716*c^26+160617860*c^25+91143114*c^24+
50323496*c^23+27049196*c^22+14162220*c^21+7228014*c^20+3598964*c^19+1749654*c^18+831014*c^17+385741*c^16+175048*c^15+77684*c^14
+33708*c^13+14290*c^12+5916*c^11+2398*c^10+950*c^9+365*c^8+132*c^7+42*c^6+14*c^5+5*c^4+2*c^3+c^2+c
---- display(z:ratsimp(P(8)));-----------
z=c^128+64*c^127+2016*c^126+41696*c^125+637360*c^124+7685024*c^123+76185104*c^122+639097008*c^121+4634116312*c^120+29524775520*
c^119+167453394320*c^118+854515874096*c^117+3958458557608*c^116+16771945556496*c^115+65418624260840*c^114+236221241425176*
c^113+793548088258508*c^112+2490875091238112*c^111+7333879739219600*c^110+20324543852025936*c^109+53181959591958024*c^108+
131760770157606224*c^107+309881648709683160*c^106+693434955498545848*c^105+1479594496462756340*c^104+3016191418506637264*
c^103+5884917700519129288*c^102+11008161481780603512*c^101+19772322481956974532*c^100+34150590308701283528*c^99+
56796799826096529620*c^98+91071943593142473900*c^97+140960183546144741182*c^96+210835921361505594848*c^95+
305060580205223726864*c^94+427417353874088245520*c^93+580430565842543266504*c^92+764655844340519788496*c^91+
978057923319151340728*c^90+1215604411161527170376*c^89+1469189341596552030212*c^88+1727958521630464742736*c^87+
1979045408073272278264*c^86+2208653487832260558008*c^85+2403354418943890067404*c^84+2551425591643957182856*c^83+
2644036970936308845148*c^82+2676118542978972739644*c^81+2646791812246207696810*c^80+2559320275988283588176*c^79+
2420609646335251593480*c^78+2240353897304462193848*c^77+2029966595320794439668*c^76+1801452751402955781592*c^75+
1566365198635995978988*c^74+1334957092752100409132*c^73+1115597581733327913554*c^72+914470757914434625800*c^71+
735537050036491961156*c^70+580706779030058464252*c^69+450159936955994386738*c^68+342743629811082484420*c^67+
256386228250001079082*c^66+188481251186354006062*c^65+136210493669590627493*c^64+96791719611591962592*c^63+
67649247253332557392*c^62+46514944583399578896*c^61+31472438318100876584*c^60+20959276151880728336*c^59+
13741246529612440920*c^58+8870996681171366696*c^57+5640327912922026260*c^56+3532711259225506384*c^55+2180053774442766712*
c^54+1325752376790240280*c^53+794643418760272876*c^52+469540646039042536*c^51+273551721580800380*c^50+157160523515654628*
c^49+89054473147697354*c^48+49778848242964944*c^47+27452211062573400*c^46+14938862548001560*c^45+8022825031835276*c^44+
4252710138415640*c^43+2225301467579844*c^42+1149605839249820*c^41+586400982013486*c^40+295372837865192*c^39+
146932182777116*c^38+72188854953372*c^37+35031835376454*c^36+16792863663700*c^35+7952125694214*c^34+3720187393990*c^33+
1719477330477*c^32+785248461712*c^31+354347339496*c^30+158015533208*c^29+69640352964*c^28+30336029592*c^27+13062923500*c^26+
5560968284*c^25+2340595778*c^24+974083128*c^23+400844588*c^22+163107044*c^21+65626918*c^20+26108844*c^19+10269590*c^18+
3993030*c^17+1534301*c^16+582408*c^15+218324*c^14+80812*c^13+29538*c^12+10652*c^11+3774*c^10+1302*c^9+429*c^8+132*c^7+42*c^6+14*
c^5+5*c^4+2*c^3+c^2+c
------------display(z:ratsimp(P(9)));---------------------------
z=c^256+128*c^255+8128*c^254+341440*c^253+10676064*c^252+265070400*c^251+5444445216*c^250+95166629216*c^249+1445348279984*c^248
+19378537561280*c^247+232268682367776*c^246+2514273632010848*c^245+24788919621401424*c^244+224191664094990368*c^243+
1871297598686042576*c^242+14491605396979153712*c^241+104602447595513695448*c^240+706618798086250436032*c^239+
4483505696773630813472*c^238+26806924022759843344032*c^237+151475263170913571453456*c^236+811058081377927762191008*c^235+
4125012901912074753618864*c^234+19971944603792862337968496*c^233+92239666183789125434789480*c^232+
407126550646248518782633888*c^231+1720309814938174860999826832*c^230+6970220391424262318086119408*c^229+
27120492587985473170004581512*c^228+101476372581805280399805180560*c^227+365606897102983217432946877864*c^226+
1269919251738217231319692539288*c^225+4257434387934555046190410990796*c^224+13791080782410450248325154203072*c^223+
43208431589807552322051186894880*c^222+131061522581655642875339386739488*c^221+385223108926963051553154781203088*c^220+
1098127661539452669411734530090400*c^219+3038437621115521013399188762050160*c^218+8166585853663072758700591628239632*
c^217+21337453347578319310772329951574024*c^216+54232572994563889373842075438974368*c^215+
134178461272326178616530192711941104*c^214+323360101620839959707607160477592176*c^213+
759512089767136222835386255211404312*c^212+1739720810586256904651501803026150928*c^211+
3888321184608780851308644833143215416*c^210+8484247294136490039161773359799700472*c^209+
18082333476489764475176881718494022836*c^208+37661532090006724209933236609856407712*c^207+
76691600266156866187380494877890470160*c^206+152756586588252394360640323396555431536*c^205+
297743965184526343993292808212896223592*c^204+568143926704995532544818247917979868080*c^203+
1061746886823101702080703507846834350680*c^202+1944014108104145955480732811003766636696*c^201+
3488640599323216350018796901621313861412*c^200+6138304551418968471910794663853821963664*c^199+
10593211860911768753558283508352420777608*c^198+17936614842743450120975562894606498614200*c^197+
29807713640365373011568014339320333845412*c^196+48632812816255509457394818740702835052360*c^195+
77924760871367960945001116321460663830676*c^194+122657922928894997468299149954703227060012*c^193+
189720598280394594964654480875438839318846*c^192+288438380538330871487576352252906455060416*c^191+
431150222278532323190325044869056727874336*c^190+633804103281859718952963922943457967243552*c^189+
916522012856313840200522528632599159252368*c^188+1304065966171485363664109619729785523860128*c^187+
1826120254012222573478628535696122029209712*c^186+2517292987739600321784111458680166237729744*c^185+
3416735534542165571874596057150864345545672*c^184+4567284879315937512853984969144489158320800*c^183+
6014053930340373572191154586882070254048560*c^182+7802429718010215131677367908244993478407408*c^181+
9975488936723064788231161177900136058358456*c^180+12570901757592985726602255738073215177863952*c^179+
15617463352691421620987026046209478754416600*c^178+19131461054431361822796580350360123626125064*c^177+
23113144963591072672556664065961998843258500*c^176+27543612052598813644503337378520887071734432*c^175+
32382430080344295167036624219817607028258288*c^174+37566311735201939491157019644242672155289776*c^173+
43009098462264845869393083661794944756474744*c^172+48603228689930834933857473670731794933114672*c^171+
54222752422621808276834571605209056955839592*c^170+59727823343827915202403965687599494578582552*c^169+
64970463783373080803488605563716078041998924*c^168+69801271888091674403395245643465299854046096*c^167+
74076638598670064317949156330310671310275224*c^166+77665976898065147722520327485550483711598616*c^165+
80458445691504788722860163975643012146100732*c^164+82368678947067794944609521560171733697567560*c^163+
83341105113330742728313156337180758985928252*c^162+83352554747990972101766322108127324830812028*c^161+
82412993811981675212083018007612389415063658*c^160+80564371506352574925217855777504312935627936*c^159+
77877719268293335318472894792521294398605072*c^158+74448767058174943165290232665386402196914800*c^157+
70392442562495003502532290049042655632728744*c^156+65836680586003001898819379501588635591917040*c^155+
60915990501386158579490222380092110933997752*c^154+55765210569942437059219088690869008224818840*c^153+
50513824674851115392494485009376196024849108*c^152+45281137957422049553001628545536394641885744*c^151+
40172513173808540951845619516451598226466104*c^150+35276769831415485150919681333864128969793576*c^149+
30664753019148837530314107869730876010753660*c^148+26388996224287919219454260322117469678368120*c^147+
22484337853297568092264814056212764530465436*c^146+18969307550404377181762960789892290009282764*c^145+
15848076139733749121589268209412518291135218*c^144+13112760387937095407883247500108224962454544*c^143+
10745887515313571388631895124227727283678472*c^142+8722850262771219245470450741802751355851544*c^141+
7014216818665684248090649266950316929937428*c^140+5587796699064813023481904033021917413471800*c^139+
4410400032648403236584051951432551358868236*c^138+3449260745731497779780307399484473966845388*c^137+
2673121933311781812541282882793705803418594*c^136+2053003213669241723254593947005171942841864*c^135+
1562684870749208140112942763404908308662788*c^134+1178952490402146224064722268315305076474300*c^133+
881649424912948885545267968901100096726226*c^132+653583848211654497217857178264475783029316*c^131+
480333541896042833489471373940304510029930*c^130+349985978831372115291658429534112785832878*c^129+
252844706966660579774942163893612168754085*c^128+181126253571874035417700615793700241937344*c^127+
128665337592670910641068152657501768943776*c^126+90640467858650528772004528209061832941600*c^125+
63327219625955834864023622738202561463888*c^124+43882687105971219516881875082308961523232*c^123+
30161771100372341007446633263682499447088*c^122+20563979211389320578680059906129093186000*c^121+
13908156252311850012806191419153350363944*c^120+9331877019067401262709503460335110557088*c^119+
6211979428955088955647543823389978003696*c^118+4102765146235918676888615949083210981680*c^117+
2688639819941138035123043477549839005592*c^116+1748321037891475652500268338387088444496*c^115+
1128145718429235787145491784249228145528*c^114+722415668521578406721464428523343978472*c^113+
459101972360919881104420196407509181204*c^112+289569579704316693844015187473891227040*c^111+
181275810365406137279865771156247110384*c^110+112639555011108569979939480328997425968*c^109+
69474720115918091105344219274412834488*c^108+42537092928298819836766680044897050672*c^107+
25854366247539526542838992929039400680*c^106+15600722454394430338281822046322860536*c^105+
9345865932333406442778966863099884524*c^104+5558752947317759078085863987514148560*c^103+
3282742569846432540545398066702007576*c^102+1924935669923514045226678298786238136*c^101+
1120813971728926364054133600105543356*c^100+648046891336495407331100034741882152*c^99+
372093631881673802980926871149762716*c^98+212171944690143395214107139138528932*c^97+
120151795835141553459050404187814090*c^96+67576471808922295343822488686935968*c^95+37748501600228679934476224082231728*
c^94+20943948830276132138215169646665520*c^93+11542168939148692270605274883707096*c^92+
6318315736467812275050034098856944*c^91+3435697866458789108727281445405736*c^90+1855849376858920501629447813559352*c^89+
995860844915277521206340425850636*c^88+530880154719499951069866490258096*c^87+281157478035888161972409993101032*c^86+
147935090222088073132088181371272*c^85+77334622168103465630438116540900*c^84+40167095669088818744030146664376*c^83+
20728734298657765338876197244756*c^82+10629013040050330153146906318588*c^81+5415549467449775472613954010542*c^80+
2741781920864475522799402765008*c^79+1379352239359450897350336644216*c^78+689572928470629665227011638232*c^77+
342577290803102517816971169116*c^76+169130001951247474244523846808*c^75+82980604110615382012237974644*c^74+
40460970907631899323504865292*c^73+19606924238994355876610664454*c^72+9442904099029667514880416360*c^71+
4519952589154527832719564092*c^70+2150321525708446303314913916*c^69+1016770524894840215076586422*c^68+
477860435747703797041728532*c^67+223226672736540177670132966*c^66+103649213550193793948239110*c^65+
47837511966147008398026221*c^64+21946295142986958491005216*c^63+10008084544181525541437648*c^62+
4536746451258603685552176*c^61+2044316329571572992096520*c^60+915730186690090076508336*c^59+407763276280432350283288*c^58
+180498920423742781054328*c^57+79427563126557636669860*c^56+34745744569472475154480*c^55+15110150073211913424568*c^54+
6532435099515038282088*c^53+2807516949767013036540*c^52+1199531943799252795512*c^51+509499807078842855804*c^50+
215138987697889482300*c^49+90310195379140130658*c^48+37687412945772081520*c^47+15634961825829063256*c^46+
6448181040666495848*c^45+2643726144349102332*c^44+1077540604058822472*c^43+436604408356041188*c^42+175865084154629012*c^41
+70422002837291222*c^40+28033353858438104*c^39+11093812898913788*c^38+4364426595039604*c^37+1706930089807390*c^36+
663663412897100*c^35+256521909225414*c^34+98570133024230*c^33+37653810688701*c^32+14299203591952*c^31+5398194738600*c^30+
2025867409304*c^29+755767816996*c^28+280263417112*c^27+103306269964*c^26+37848254300*c^25+13781448434*c^24+4986986168*c^23+
1793215404*c^22+640655364*c^21+227377494*c^20+80152748*c^19+28056886*c^18+9750118*c^17+3363133*c^16+1151240*c^15+390964*c^14+
131596*c^13+43810*c^12+14364*c^11+4606*c^10+1430*c^9+429*c^8+132*c^7+42*c^6+14*c^5+5*c^4+2*c^3+c^2+c
(%i6) display(z:ratsimp(P(10)));
< Expression too long to display! >
-----------------------------
If c is out of Mandelbrot set then zn=fn(zcr) grows very quickly ( like f(z)=z*z ) :
(%i1) F[n, c, z] := if n=0 then z else (F[n-1, c, z]^2 + c);
(%o1) F[n,c,z]:=if n=0 then z else F[n-1,c,z]^2+c
(%i2) radius_1_list:makelist(abs(F[i,1,0]),i,1,5);
(%o2) [1,2,5,26,677]
(%i3) i_list:makelist(i,i,1,5);
(%o3) [1,2,5,26,677]
(%i4) plot2d([discrete,i_list,radius_1_list])$
If c is on boundary of Mandelbrot set then Zn grows ..... :
(%i22) radius_list:makelist(float(F[i,1/4,0]),i,1,5);
(%o22) [0.25,0.3125,0.34765625,0.37086486816406,0.38754075043835]
(%i23) plot2d([discrete,i_list,radius_list])$
or stays bounded :
(%i25) radius_list:makelist(float(abs(F[i,-3/4,0])),i,1,5);
(%o25) [0.75,0.1875,0.71484375,0.23899841308594,0.6928797585424]
(%i26) plot2d([discrete,i_list,radius_list])$
see also:
Main page
Autor: Adam Majewski adammaj1-at-o2-dot-pl
Feel free to e-mail me. (:-))
Made with: EditPlus www.editplus.com
About
republika.pl/fraktal